Μαθήματα Ενότητας
Κεφάλαιο 8: Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς
Στόχοι - προσδοκώμενα αποτελέσματα
Στόχοι – Προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα
Οι μαθητές/ήτριες αναμένεται:
- να αναγνωρίζουν και να αναπαριστάνουν καταστάσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης με διαφορετικούς τρόπους,
- να εφαρμόζουν στρατηγικές νοερών υπολογισμών πρόσθεσης κι αφαίρεσης,
- να αναπτύσσουν τους αλγόριθμους της πρόσθεσης και της αφαίρεσης χρησιμοποιώντας διάφορες στρατηγικές, μέσα και αναπαραστάσεις,
- να αξιοποιούν τους αλγόριθμους της πρόσθεσης και της αφαίρεσης χρησιμοποιώντας διάφορες στρατηγικές, μέσα και αναπαραστάσεις,
- να αναπτύσσουν στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων και μοντελοποίησης πρόσθεσης και αφαίρεσης.
Διερεύνηση
Κεφάλαιο 9: Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς
Στόχοι - προσδοκώμενα αποτελέσματα
Οι μαθητές/ήτριες αναμένεται:
- να αναγνωρίζουν και να αναπαριστάνουν καταστάσεις πολλαπλασιασμού με
διαφορετικούς τρόπους, - να αναγνωρίζουν, να διατυπώνουν και να εφαρμόζουν στρατηγικές νοερών
υπολογισμών πολλαπλασιασμού, - να αναπτύσσουν και να αξιοποιούν αλγορίθμους πολλαπλασιασμού
χρησιμοποιώντας διάφορες στρατηγικές, μέσα, και αναπαραστάσεις, - να αναπτύσσουν στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων και μοντελοποίησης
πολλαπλασιασμού.
Η Επιμεριστική Ιδιότητα του Πολλαπλασιασμού
Κεφάλαιο 10: Πολλαπλάσια και Διαιρέτες
Διαιρέτες (Δ) ενός ακέραιου αριθμού λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 10, 18 και 24 είναι αντίστοιχα:
Δ10 = 1, 2, 5, 10.
Δ18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Δ24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Πολλαπλάσιο (Π) ενός ακέραιου αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο ακέραιο αριθμό (1,2,3,4,5…). Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια των αριθμών 2 και 3 είναι αντίστοιχα οι αριθμοί:
Π2 = 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24…
Π3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36…
Τα πολλαπλάσια κάθε φυσικού αριθμού είναι άπειρα.
Κοινά πολλαπλάσια (Κ.Π.) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των φυσικών αριθμών:
π.χ. Ο αριθμός 4 έχει πολλαπλάσια τους αριθμούς 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,…
Ο αριθμός 6 έχει πολλαπλάσια τους αριθμούς 0, 6, 12, 1 8, 24, 30, 36,…
Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 4 και 6 είναι οι αριθμοί 0, 12, 24,…
Παράδειγμα
Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα 12 διαδοχικά πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3 και 6.
- Παρατηρούμε ότι μερικά απ’ τα πολλαπλάσια του 2, τα 6, 12, 18, 24 συμβαίνει να είναι πολλαπλάσια και των άλλων αριθμών 3 και 6. Αν ο πίνακας ήταν μεγαλύτερος, θα βρίσκαμε κι άλλα κοινά πολλαπλάσια.
- Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι άπειρα, αφού και τα πολλαπλάσιά τους είναι άπειρα.
- Τα κοινά πολλαπλάσια δημιουργούνται με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του μικρότερου κοινού πολλαπλασίου. Π.χ. 6, 12, 18, 24…
Υπολογισμός του Ε.Κ.Π.
Βήμα 1:
Βρίσκω τα πολλαπλάσια των αριθμών.
- Π4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, …
- Π6 = 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
- Π8 = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48…
Βήμα 2:
Βρίσκω τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών.
- Κ.Π. (4, 6, 8) = 0, 24, 48,…
Βήμα 3:
Επιλέγω το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια (Ε.Κ.Π.).
- Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 24
Εξετάζουμε:
…την πιθανότητα ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς, των οποίων ζητάμε το Ε.Κ.Π. τους, είναι πολλαπλάσιο των υπολοίπων, δηλαδή αν διαιρείται ακριβώς με τους άλλους αριθμούς. Αν διαιρείται ακριβώς, τότε αυτός, ο μεγαλύτερος, είναι το Ε.Κ.Π. τους.
Παράδειγμα 1:
Ε.Κ.Π. (3,4,12) = 12, γιατί 12 : 3 = 4 και 12 :4 = 3.
Αν ο μεγαλύτερος αριθμός δε διαιρείται ακριβώς με τους άλλους, δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιό τους, τότε τον διπλασιάζουμε ή τον τριπλασιάζουμε κ.ο.κ., μέχρι να βρούμε έναν αριθμό, δηλαδή ένα πολλαπλάσιό του. που να διαιρείται ακριβώς με όλους τους άλλους δοσμένους αριθμούς. Αυτός ο αριθμός είναι το Ε.Κ.Π. τους.
Παράδειγμα 2:
Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των αριθμών 12 και 15.
- Διαλέγω τον μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς, που είναι το 15. Το 15 δεν είναι πολλαπλάσιο του 12 (δεν διαιρείται ακριβώς με το 12), οπότε το διπλασιάζουμε, τριπλασιάζουμε κ.ο.κ. μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιό του.
- Έτσι λοιπόν, στον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού εντοπίζω τα πολλαπλάσια του 15:
Παρατηρούμε ότι το μικρότερο πολλαπλάσιο του 15 που είναι ταυτόχρονα και πολλαπλάσιο του 12 είναι το 60.
Παράδειγμα 3:
Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 24.
Πώς το βρήκαμε:
- Επειδή ο μεγαλύτερος αριθμός, ο 8, δε διαιρείται με το 4 και το 6 (δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιό τους), τον διπλασιάζουμε (2 · 8= 16) και ελέγχουμε αν ο 16 διαιρείται με το 4 και το 6.
- Επειδή ο 16 δε διαιρείται ακριβώς, τριπλασιάζουμε το 8 (3 · 8 = 24) και ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα διαιρείται από τους 4 και 6.
- Παρατηρούμε ότι ο 24 διαιρείται ακριβώς με το 4 και το 6 (24 : 4 = 6 και 24 : 6 = 4), γιατί είναι πολλαπλάσιό τους.
- Άρα το 24 είναι το Ε.Κ.Π. του 4, 6 και 8.
Βήμα 1: Παράδειγμα: Να βρεθεί το Ε.Κ.Π των αριθμών 2, 3, 5, 4.
Γράφουμε τους αριθμούς οριζόντια και τραβάμε μια κάθετη γραμμή, όπως στο παράδειγμα:
Βήμα 2
Κοιτάζουμε αν κάποιος από τους παραπάνω αριθμούς διαιρείται με κάποιον από τους πρώτους αριθμούς, αρχίζοντας με το 2. Αν διαιρείται, γράφουμε δεξιά της γραμμής τον αριθμό 2.
Βήμα 3
Κάνουμε στο μυαλό μας τη διαίρεση και γράφουμε αριστερά της γραμμής, κάτω από κάθε αριθμό το πηλίκο. Τους άλλους αριθμούς που δε διαιρούνται, τους ξαναγράφουμε όπως είναι.
Βήμα 4
Κοιτάζουμε τώρα αν κάποιος από τους νέους αριθμούς διαιρείται πάλι με το 2. Αν διαιρείται γράφουμε δεξιά της γραμμής τον αριθμό 2. Κάνουμε τη διαίρεση, γράφουμε το πηλίκο και τους άλλους αριθμούς τους ξαναγράφουμε όπως είναι.
Βήμα 5
Αν δεν υπάρχει άλλος αριθμός που να διαιρείται με το 2, συνεχίζουμε με το 3. Αν υπάρχει αριθμός, που διαιρείται με το 3, γράφουμε δεξιά της γραμμής το 3 και κάνουμε τη διαίρεση, όπως παραπάνω.
Βήμα 6
Συνεχίζουμε με το 5 (διαιρείται κάποιος). Γράφω δεξιά της γραμμής το 5 και κάνω τη διαίρεση, όπως προηγουμένως.
Βήμα 7
Όταν όλα τα πηλίκα γίνουν 1 (μονάδα), πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που είναι δεξιά της γραμμής και βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.
Εδώ έχουμε :
2 · 2 · 3 · 5 =
= 4 · 3 · 5 =
= 12 · 5 =
= 60.
Άρα Ε.Κ.Π των (2,3,5,4) είναι ο αριθμός 60.
Κεφάλαιο 11: Κριτήρια διαιρετότητας
Κριτήρια διαιρετότητας ονομάζω τους κανόνες που με βοηθούν να συμπεράνω αν ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με κάποιον άλλο.
Κριτήρια Διαιρετότητας των Αριθμών
Κανόνας διαιρετότητας του 10:
Οι αριθμοί που τελειώνουν σε ένα, δύο ή τρία μηδενικά αντίστοιχα, διαιρούνται με το δέκα (10).
Παραδείγματα:
Ο αριθμός 60 διαιρείται με το 10.
Ο αριθμός 2.400 διαιρείται με το 10.
Ο αριθμός 52.000 διαιρείται με το 10.
Κανόνας διαιρετότητας του 2:
Οι άρτιοι αριθμοί, δηλαδή αυτοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 ή 8 διαιρούνται με το δύο (2).
Παραδείγματα:
Οι αριθμοί 8, 34, 312, 6.570, 24.1316 διαιρούνται με το 2.
Κανόνας διαιρετότητας του 5:
Οι αριθμοί που διαιρούνται με το πέντε (5) τελειώνουν σε μηδέν (0) ή πέντε (5).
Παραδείγματα:
Οι αριθμοί 40, 85, 105, 520 και 3.205 διαιρούνται με το 5.
Κανόνας διαιρετότητας του 3:
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείτει με το τρία (3), αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι 3, 6 ή 9 (ή αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείτει με το 3).
Παραδείγματα:
Το 258 διαιρείται με το 3, επιδή 2 + 5 + 8 = 15 (το 15 διαιρείται με το 3).
Κανόνας διαιρετότητας του 9:
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 (ή αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9).
Παραδείγματα:
To 7.596 διαιρείται με το 9, επειδή 7 + 5 + 9 + 6 = 27 (το 27 διαιρείται με το 9).
Κανόνας διαιρετότητας του 4:
Ένας αριθμός διαιρείται με το τέσσερα (4) αν τα δύο τελευταία τους ψηφία διαιρούνται επίσης με το τέσσερα (4).
Παραδείγματα:
Οι αριθμοί 116, 204, 2.424 ή 52.640 διαιρούνται ακριβώς με το 4.
Κανόνας διαιρετότητας του 25:
Ένας αριθμός διαιρείται με το είκοσι πέντε (25) αν τα δύο τελευταία τους ψηφία διαιρούνται επίσης με το είκοσι πέντε (25).
Παραδείγματα:
Οι αριθμοί 50, 125, 1.025, 5.200 και 33.275 διαιρούνται με το 25.
Λυμένες ασκήσεις για εμπέδωση:
Παράδειγμα 1:
Βρίσκω αν ο αριθμός 564 διαιρείται με τους] αριθμούς 10, 2,5, 3:
564 : 10 ΟΧΙ, επειδή το τελευταίο του ψηφίο δεν είναι το 0.
564 : 2 ΝΑΙ, επειδή είναι άρτιος αριθμός.
564:5 ΟΧΙ, επειδή το τελευταίο του ψηφίο δεν είναι 0 ή 5.
564: 3 ΝΑΙ, επειδή το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 6 + 4 + 5 = 15 (το 15 διαιρείται με το 3).
Παράδειγμα 2:
Συμπληρώνω με τα κατάλληλα ψηφία τα τετραγωνάκια, ώστε ο αριθμός που θα προκύψει να διαιρείται με το 5 και το 9:
Κατάλληλοι είναι οι αριθμοί 6.525 και 6.120, επειδή διαιρούνται με το 5 (τελειώνουν σε 0 και 5) και το 9 (το άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το 9).
Κεφάλαιο 12: Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς
Με την πράξη της διαίρεσης, όταν έχω δύο φυσικούς αριθμούς, τον Διαιρετέο (Δ) και το διαιρέτη (δ), βρίσκω δύο άλλους φυσικούς αριθμούς, το πηλίκο (π) και το υπόλοιπο (υ), έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ x π + υ.
Διαίρεση με ανάλυση του Διαιρετέου
π.χ. 2.483 :20
• Αναλύω τον διαιρετέο:
2.483 = 2.000 + 400 + 80 + 3
• Διαιρώ ξεχωριστά: 2.000 : 20= 100
400 : 20 = 20
80 : 20 = 4
και το 3 θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης.
Άρα, επειδή Δ = δ x π + υ, βρίσκω:
2.483 = 20 x (100 + 20 + 4) + 3 = =20 x 124 + 3.
Το πηλίκο της διαίρεσης είναι 124 και το υπόλοιπο 3.
Διαίρεση με το 10, το 100, το 1.000
Όταν διαιρώ με το 10 έναν αριθμό που το τελευταίο ψηφίο του είναι το 0, διαγράφω αυτό το ψηφίο:
π.χ. 130: 10= 13
Αντίστοιχα:
π.χ. 2.500: 100 = 25 230.000 : 1.000 = 230
Μπορώ, επίσης, στη διαίρεση αριθμών που το τελευταίο ή τα τελευταία ψηφία τους είναι 0, να διαγράψω ίδιο αριθμό μηδενικών και από τους δυο αριθμούς: π.χ. 150 : 30 = 15 : 3 = 5
12.000 : 400 =
= 120 : 4 = 30