13 - Εισαγωγή στους κλασματικούς αριθμούς
Βασικές μαθηματικές έννοιες για τους κλασματικούς αριθμούς
14 - Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιας μονάδας
Βασικές μαθηματικές έννοιες για τους κλασματικούς αριθμούς
Τα κλάσματα που έχουν μεγαλύτερο αριθμητή από παρονομαστή είναι μεγαλύτερα από την ακέραιη μονάδα (το 1):
Κλάσματα μεγαλύτερα από την Ακέραια Μονάδα είναι αυτά για τα οποία ισχύει:
Αριθμητής > Παρονομαστής
15 - Το κλάσμα ως πηλίκο της διαίρεσης
Βασικές μαθηματικές έννοιες για τους κλασματικούς αριθμούς
16 - Ισοδυναμία κλασμάτων - Απλοποίηση κλασμάτων
Αναγνωρίζουμε και κατασκευάζουμε κλασματικούς αριθμούς
Δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα, όταν μετρούν το ίδιο μέγεθος με διαφορετικές κλασματικές μονάδες. Δηλαδή, εκφράζουν το ίδιο μέγεθος, έχουν την ίδια αξία, αλλά διαφορετικούς όρους.
Όταν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, βρίσκουμε κλάσμα ισοδύναμο με το πρώτο (αρχικό). Π.χ.
Επομένως, με πολλαπλασιασμό των όρων του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, παίρνουμε ισοδύναμα κλάσματα με μεγαλύτερους όρους, ενώ, αντίστροφα, με διαίρεση παίρνουμε ισοδύναμα κλάσματα με μικρότερους όρους.
Η πράξη κατά την οποία διαιρώντας και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο ακέραιο αριθμό (εκτός από το 0) βρίσκουμε ένα άλλο κλάσμα ισοδύναμο με το πρώτο, αλλά με μικρότερους όρους, λέγεται απλοποίηση του κλάσματος.
Αν ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί (δεν υπάρχει αριθμός εκτός από το 1, που να είναι κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του), ονομάζεται ανάγωγο.
17 - Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων
Διατάσσουμε ένα σύνολο κλασματικών αριθμών
Βρίσκουμε ενδιάμεσους μικρότερους και μεγαλύτερους κλασματικούς αριθμούς
18 - Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων
Μετατρέπουμε ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα
Δημιουργούμε και διακρίνουμε ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα
Προσθέτουμε και αφαιρούμε κλάσματα
Πρόσθεση και αφαίρεση μεικτών αριθμών
1ος τρόπος:: Μετατρέπω τους μεικτούς σε κλάσματα
2ος τρόπος: Κάνω πράξεις με τους μεικτούς
Προσθέτω ή αφαιρώ χωριστά τους ακέραιους αριθμούς και χωριστά τα κλάσματα (αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα, τα μετατρέπω σε ομώνυμα):
Σημείωση: Αν, στην αφαίρεση μεικτού από μεικτό, διαπιστώσουμε ότι το κλάσμα του αφαιρετέου είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα του μειωτέου, αυξάνουμε το κλάσμα του μειωτέου κατά μία ακέραιη μονάδα που τη δανειζόμαστε από τον ακέραιο του μειωτέου.
Διάφορες περιπτώσεις πρόσθεσης με κλάσματα, μεικτούς και ακέραιους:
Α. Πρόσθεση
Κλάσμα - μεικτός
Κλάσμα - ακέραιος
Μεικτός- ακέραιος
Προσθέτω τον ακέραιο με το ακέραιο μέρος του μεικτού:
Β. Αφαίρεση
Κλάσμα - μεικτός
Γράφω το ακέραιο μέρος του μεικτού και ως κλασματικό μέρος τη διαφορά των κλασμάτων ή μετατρέπω τον μεικτό σε κλάσμα και κάνω την αφαίρεση των κλασμάτων:
Στην αφαίρεση με τον 2ο τρόπο, όταν το κλάσμα του αφαιρετέου είναι μεγαλύτερο από το ομώνυμο κλάσμα του μειωτέου (και δεν αφαιρείται), παίρνουμε μία ακέραιη μονάδα από τον ακέραιο του μειωτέου, τη μετατρέπουμε σε ισοδύναμο κλάσμα με όρους ίσους με τον παρονομαστή των ομώνυμων κλασμάτων, το προσθέτουμε με το κλάσμα του μειωτέου και έπειτα κάνουμε την αφαίρεση. Ανάλογα ενεργούμε και όταν έχουμε να αφαιρέσουμε κλάσμα ή μεικτό αριθμό από φυσικό.
Κλάσμα - ακέραιος
Μεικτός- ακέραιος
Αφαιρώ από το ακέραιο μέρος του μεικτού τον ακέραιο, όταν ο ακέραιος είναι αφαιρετέος. Όταν ο ακέραιος είναι μειωτέος, τον μετατρέπω σε μεικτό:
Τι πρέπει να θυμάσαι:
Για να αφαιρέσουμε από μεικτό έναν ακέραιο, αφαιρούμε τον ακέραιο από τον ακέραιο του μεικτού και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε το κλάσμα του μεικτού.
Για να αφαιρέσουμε από μεικτό ένα κλάσμα, αφαιρούμε αυτό το κλάσμα από το κλάσμα του μεικτού και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε τον ακέραιο του μεικτού.
19 - Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος με κλάσμα - αντίστροφοι αριθμοί
Πολλαπλασιάζουμε κλάσματα με φυσικούς αριθμούς
Πολλαπλασιάζουμε κλάσματα με κλάσματα
20 - Διαίρεση κλασμάτων
Διαιρούμε κλάσματα - Χρησιμοποιούμε κατάλληλες αναπαραστάσεις για τη διαίρεση κλασμάτων
Βασικά Σημεία Θεωρίας
Για να διαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, διαιρούμε τους αριθμητές τους.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης (πηλίκο) μας δείχνει πόσες φορές χωράει το μικρότερο κλάσμα στο μεγαλύτερο.
Παραδείγματα
Μία σανίδα έχει μήκος 1,80 μ. Πόσα ράφια:
α. των 30 εκ.,
β. των 60 εκ. και
γ. των 90 εκ.
μπορούμε να φτιάξουμε κάθε φορά με όλη τη σανίδα;
Λύση:
Στο κατάστημα βρίσκουμε σανίδια μήκους 2 μ.
Παρατηρούμε ότι 1 σανίδα των 180 εκ. ή 180/100 μ. ή 1,80 μ. μας δίνει: