Περιεχόμενα
2 - Δεκαδικοί αριθμοί
Μαθαίνω να διακρίνω την αξία ενός δεκαδικού αριθμού.
Μαθαίνω να χρησιμοποιώ τους κανόνες γραφής και τις ιδιότητες των δεκαδικών αριθμών.
3 - Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα
Γιατί είναι απαραίτητη η μετατροπή των δεκαδικών αριθμών σε κλάσματα;
Η σχέση δεκαδικών αριθμών με τα κλάσματα
Μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε δεκαδικό κλάσμα
Βήμα 1: Γράφω στον αριθμητή ολόκληρο τον αριθμό χωρίς την υποδιαστολή.
Βήμα 2: Γράφω στον παρονομαστή τον αριθμό 1 με τόσα μηδενικά όσα και τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού που θέλω να μετατρέψω.
Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό
Βήμα 1: Γράφω μόνο τον αριθμητή του..
Βήμα 2: Χωρίζω με υποδιαστολή από το τέλος τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά είχε ο παρονομαστής (συμπληρώνω με 0 όσα ψηφία λείπουν)..
Δεκαδικές Κλασματικές Μονάδες
Δεκαδικά κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που στον παρονομαστή τους έχουν το 10, το 100, το 1000 κλπ.:
Παραδείγματα:
Κυκλώνω τα δεκαδικά κλάσματα
Βρίσκω την περίμετρο του σχήματος
5 - Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
Συνειδητοποιώ τη σημασία των ιδιοτήτων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης στους καθημερινούς υπολογισμούς.
Αναγνωρίζω ότι η αφαίρεση είναι αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης.
Ιδιότητες πρόσθεσης και αφαίρεσης
Επαλήθευση πρόσθεσης και αφαίρεσης
6 - Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών
Στον οριζόντιο πολλαπλασιασμό μπορώ να εργαστώ ως εξής:
Π.Χ.: 8 • 85
Πρώτα χωρίζω το 85 σε αξία δεκάδων και μονάδων: 80 + 5.
Κατόπιν, αντί σε 85, γράφω μέσα σε παρένθεση το άθροισμα 80 + 5 και αξιοποιώ την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση:
8 • 85 =
= 8 • (80 + 5) =
= 8 • 80 + 8 • 5 =
= 640 + 40 = 680
Ομοίως:
25 • 42 =
= 25 • (40 + 2) =
= 25 • 40 + 25 • 2 =
= 1.000 + 50 = 1.050
Ακόμα:
6 • 8,5 =
= 6 • (8 + 0,5) =
= 6 • 8 + 6 • 0,5 =
= 48 + 3 = 51
Για να πολλαπλασιάσουμε ένα φυσικό ή δεκαδικό αριθμό επί 0,1 ή 0,01 ή 0,001 κτλ., αρκεί να τον διαιρέσουμε αντίστοιχα με το 10 ή 100 ή 1.000 κτλ. και βρίσκουμε το γινόμενο που ζητάμε.
– Αν είναι φυσικός αριθμός, χωρίζουμε αντίστοιχα απ’ το τέλος του ένα ή δύο η τρία κτλ. δεκαδικά ψηφία.
– Αν είναι δεκαδικός αριθμός, μετακινούμε αντίστοιχα την υποδιαστολή μία, δύο ή τρεις κτλ. θέσεις προς τα αριστερά. Π.χ.
25 • 0,1 = 2,5
3,5 • 0,1 = 0,35
25 • 0,01 = 0,25
3,5 • 0,01 = 0,035
25 • 0,001 = 0,025
3,5 • 0,001 = 0,0035
7 - Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
Διαίρεση συνήθως κάνω:
- Όταν γνωρίζω την τιμή των πολλών μονάδων και ψάχνω την τιμή της μιας μονάδας (διαίρεση μερισμού), π.χ. Αν τα 4 τετράδια κοστίζουν 6 €, πόσο κοστίζει το ένα;
6 : 4 = 1,50 € το ένα τετράδιο.
- Όταν γνωρίζω την τιμή των πολλών μονάδων, καθώς και την τιμή της μιας μονάδας και ψάχνω το πλήθος των μονάδων (διαίρεση μέτρησης).
π.χ. Πόσα δοχεία των 17,5 κιλών θα χρειαστώ για να μοιράσω 490 κιλά λάδι;
490 : 17,5 = 28 δοχεία.
8 - Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις
Αριθμητική παράσταση λέγεται μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων ( +, – , · , : ).
Π.χ. 2+ 3 · 2 – 8 : 2 =
Σε πολλές αριθμητικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε παρενθέσεις.
Π.χ. (2 + 3) · 2 – ( 2 + 3)
Για να λύσουμε αριθμητικές παραστάσεις ακολουθούμε ορισμένους κανόνες.
Οι πράξεις στην αριθμητική παράσταση αρχίζουν πρώτα από αριστερά και συνεχίζουν προς τα δεξιά.
Η σειρά των πράξεων είναι:
- Πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς ,
- Μετά τις διαιρέσεις,
- …και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις αλλά με τη σειρά που τις συναντάμε από τα αριστερά προς τα δεξιά
Παραδείγματα:
Αριθμητικές παραστάσεις με παρενθέσεις
3 • (4 • 2,5 – 3 + 5) : 4 =
= 3 • (10 – 3 + 5) : 4 =
= 3 • (7 + 5) : 4 –
= 3 • 12 : 4 =
= 36 : 4 – 9
(88 – 20 : 4) – (8 • 9 + 4) =
= (88 – 5) – (72 + 4) =
= 83 – 76 = 7
90 – (45 : 9 + 13) : (9 • 0,5 – 3) =
= 90 – (5 + 13) : (4,5 – 3) =
= 90 – 18 : 1,5 =
= 90 – 12 – 78
0,75 · (3,5 + 0,5) : 0,01 =
= 0,75 -4 : 0,01 =
= 3 : 0,01 = 300
12 - Διαιρέτες ενός αριθμού - Μ.Κ.Δ. αριθμών
Διαιρέτες (Δ) ενός φυσικού αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό, π.χ.
Ο αριθμός 10 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1, 2, 5 και 10.
► Κάθε φυσικός αριθμός έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες: τη μονάδα και τον εαυτό του.
Κοινοί διαιρέτες (Κ.Δ.) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που τους διαιρούν όλους ακριβώς.
π.χ. Ο αριθμός 8 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1, 2, 4 και 8.
Ο αριθμός 16 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1,2, 4, 8 και 16. Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 8 και 16 είναι οι αριθμοί 1, 2, 4, 8.
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους.
π.χ. Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των αριθμών 8 και 16 είναι το 8.
► Χρησιμοποιώ τον Μ.Κ.Δ. στη λύση προβλημάτων, όταν θέλω να μοιράσω διαφορετικές ποσότητες σε ίσα μέρη και με αυτά να δημιουργήσω όμοιες ομάδες.
Παράδειγμα:
Βρίσκω το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 3, 6 και 18
Δ3 = 1, 3
Δ6 = 1, 2, 3, 6
Δ18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Κ.Δ. (3, 6, 18) = 1, 2, 3
Μ.Κ.Δ. (3, 6, 18) = 3
…και ένας άλλος τρόπος (μέσα από τρία παραδείγματα):
- Δίνονται οι αριθμοί 3, 6 και 18 και ζητείται ο Μ.Κ.Δ. τους.
Παίρνουμε το μικρότερο και ψάχνουμε να βρούμε αν διαιρεί ακριβώς τους άλλους δύο.
Διαπιστώνουμε ότι τους διαιρεί.
Επομένως, Μ.Κ.Δ. (3, 6, 18) = 3. - Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. των αριθμών 6, 15 και 9.
Ο μικρότερος, δηλ. ο 6, δε διαιρεί τους άλλους δύο.
Επομένως, ο 6 δεν είναι ο Μ.Κ.Δ. που ζητούμε.
Διαιρούμε το μικρότερο διά του 2 (6:2 = 3). Ο αριθμός 3 διαιρεί τους άλλους δύο.
Επομένως, Μ.Κ.Δ. (6, 15, 9) = 3. - Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. των αριθμών 16, 20, 36.
Ο μικρότερος, δηλ. ο 16, δεν είναι ο ζητούμενος Μ.Κ.Δ., γιατί δε διαιρεί τους αριθμούς 20 και 36.
Διαιρούμε το 16 διά του 2 (16 : 2 = 8). Το 8 δεν μπορεί να είναι ο ζητούμενος Μ.Κ.Δ., γιατί δε διαιρεί τους 20 και 36.
Βλέπουμε ότι ο 16 δε διαιρείται διά του 3, και γι’ αυτό προχωρούμε στη διαίρεση 16 : 4 = 4. Ο αριθμός 4 διαιρεί τους 20 και 36.
Άρα, Μ.Κ.Δ. (16, 20, 36) = 4.
13 - Κριτήρια διαιρετότητας
Για να διακρίνουμε εύκολα και γρήγορα αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο, χρησιμοποιούμε κάποιους κανόνες, στους οποίους υπακούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί και οι οποίοι ονομάζονται κριτήρια διαιρετότητας.
- Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται ακριβώς με το 9, διαιρείται ακριβώς και με το 3 (π.χ. ο αριθμός 414 κ.ά.) ενώ κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται με το 3 δε διαιρείται πάντα και με το 9 (π.χ. ο αριθμός 123 κ.ά.).
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8.
Παραδείγματα:
Οι αριθμοί 12, 106, 4.128, 25.490 κ.ά. διαιρούνται ακριβώς με το 2.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.
Παραδείγματα:
Οι αριθμοί 15, 40, 425, 5.200 κ.ά. διαιρούνται ακριβώς με το 5.
Με το 10, 100, 1.000 διαιρούνται οι αριθμοί που τελειώνουν σε ένα, δύο, τρία,… μηδενικά αντίστοιχα.
Παραδείγματα:
Ο αριθμός 80 διαιρείται με το 10.
Ο αριθμός 1.800 διαιρείται με το 100.
Ο αριθμός 23.000 διαιρείται με το 1.000.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 3 αν ο πυθμένας του είναι 3, 6 ή 9.
Πυθμένας είναι ο μονοψήφιος αριθμός που προκύπτει αν προσθέσω όλα τα ψηφία ενός αριθμού.
Παραδείγματα:
Ο αριθμός 414 διαιρείται με το 3 γιατί: 4 + 1 + 4 = 9 (ο πυθμένας του είναι 9).
To 258 διαιρείται με το 3, επειδή 2 + 5 + 8 = 15. Συνεχίζω την πρόσθεση των ψηφίων και βρίσκω ότι 5 + 1 = 6 (ο πυθμένας του είναι 6).
To 1.254 διαιρείται με το 3, επειδή 1 + 2 + 5 + 4 = 12. Συνεχίζω την πρόσθεση των ψηφίων και βρίσκω ότι 1 + 2 = 3 (ο πυθμένας του είναι 3).
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 9 αν ο πυθμένας του είναι 9.
Πυθμένας είναι ο μονοψήφιος αριθμός που προκύπτει αν προσθέσω όλα τα ψηφία ενός αριθμού.
- Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται ακριβώς με το 9, διαιρείται ακριβώς και με το 3 (π.χ. ο αριθμός 414 κ.ά.) ενώ κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται με το 3 δε διαιρείται πάντα και με το 9 (π.χ. ο αριθμός 123 κ.ά.).
Παραδείγματα:
Ο αριθμός 414 διαιρείται με το 9 γιατί: 4 + 1 + 4 = 9 (ο πυθμένας του είναι 9).
To 7.596 διαιρείται με το 9, επειδή 7 + 5 + 9 + 6 = 27 (το 27 διαιρείται με το 9).
Με το 4 και με το 25 διαιρούνται οι αριθμοί που τα δυο τουλάχιστον τελευταία ψηφία τους είναι αριθμός που διαιρείται με το 25.
Παραδείγματα:
Το 3.450 διαιρείται με το 25, επειδή το 50 διαιρείται με το 25.
Ο αριθμός 132 διαιρείται με το 4 γιατί 32 : 4 = 8.
Ο αριθμός 175 διαιρείται με το 25 γιατί 75 : 25 = 3.
To 324 διαιρείται με το 4, επειδή το 24 διαιρείται με το 4.
24 - Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων
Τι πρέπει να προσέξω στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων
Στον πολλαπλασιασμό και στη διαίρεση κλασμάτων δε χρειάζεται τα κλάσματα να είναι ομώνυμα.
Για ευκολία, όλες οι περιπτώσεις πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης κλασμάτων μπορούν να αναχθούν σε μία μορφή:
αφού κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα και κάθε μεικτός μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα.
Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή επί αριθμητή και παρονομαστή επί παρανομαστή.
Παραδείγματα:
Τι πρέπει να προσέξω στη διαίρεση κλασμάτων
Αντίστροφοι αριθμοί
Είναι οι αιριθμοί των οποίων το γινόμενό τους είναι η μονάδα (1).
Παραδείγματα:
Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος (διαιρέτη) και κάνουμε πολλαπλασιασμό.
Αν στη διαίρεση υπάρχει και ακέραιος αριθμός, τον μετατρέπω σε κλάσμα, βάζοντας για παρονομαστή τη μονάδα.
Αν στη διαίρεση υπάρχει και μεικτός αριθμός, τον μετατρέπω σε κλάσμα.
Παραδείγματα:
Εκτός από τις άλλες περιπτώσεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, στα κλάσματα:
- Όταν γνωρίζουμε την τιμή της μιας ακέραιης μονάδας και ψάχνουμε την την τιμή των πολλών ακεραίων μονάδων, κάνουμε πολλαπλασιασμό.
- Όταν ξέρουμε την τιμή ολόκληρης της ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε την αξία ενός μέρους της, κάνουμε πολλαπλασιασμό.
Παραδείγματα προβλημάτων με πολλαπλασιασμό κλασμάτων:
Διαίρεση κάνουμε στις παρακάτω περιπτώσεις:
- Όταν γνωρίζω την τιμή των πολλών ακέραιων μονάδων και ψάχνω την τιμή της μιας ακέραιας μονάδας (Διαίρεση μερισμού).
- Όταν γνωρίζω την τιμή πολλών ακέραιων μονάδων και ψάχνω το πλήθος τους (Διαίρεση μέτρησης).
- Όταν ξέρουμε την αξία ενός μέρους της ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε την τιμή ολόκληρης της ακέραιας μονάδας, κάνουμε διαίρεση.
Προσοχή:
Στη θέση του διαιρετέου βάζουμε το κλάσμα ή τον μεικτό που εκφράζει το ίδιο ποσό που ζητάμε να βρούμε στο πηλίκο. Έτσι, αν ψάχνουμε να βρούμε μέτρα, θα μπει διαιρετέος ο αριθμός που φανερώνει μέτρα.
Παραδείγματα προβλημάτων με διαίρεση κλασμάτων:
